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自守函数(automorphic function)是圆函数、双曲函数、椭圆函数等概念的推广.设X是Cⁿ中有界连通开集,G是X赋以紧开拓扑后的自同构(即双全纯双射)群,Γ是G的离散子群,若一个亚纯函数f在Γ作用下不变,则称为(关于Γ的)自守函数.若存在一个Γ×X到C的函数α(r,z),它关于z∈X全纯,且处处非零,使得对每个γ∈Γ有:f(γ,z)=α(r,z)f(z)(z∈X),则称f为(关于Γ的)自守形式,α被称为自守因子,它应满足关系α(γγ′,z)=α(γ,γ′z)α(γ′,z)(注意:这里f通常要求是全纯的,并且f在尖点处的性态要有一些适当的条件)。